В каждой ситуации мы придерживаемся определённой стратегии. Обычно это происходит бессознательно, отсюда и частые ошибки. Избежать их можно, если научиться угадывать действия другого человека.
Взять, к примеру, свидания. Мы все выбираем одну главную стратегию: пытаемся скрыть отрицательные черты характера и показать положительные.
Пока не буду рассказывать, что каждый вечер люблю полежать с пивком на диване. Расскажу, когда она узнает меня поближе и поймёт, что в остальном я в порядке.
Павел, диванный эксперт
Такая стратегия - это, скорее, не ложь, а умалчивание.
Пример
Представьте ситуацию: мужчина и женщина встречаются несколько месяцев и однажды . У мужчины квартира небольшая, поэтому логично, что речь идёт о переезде в квартиру женщины.
Надо сказать, что мужчина работает экономистом. Он проанализировал ситуацию и понял, что отказываться от аренды квартиры пока невыгодно. Сейчас он платит небольшие деньги и в случае разрыва отношений не найдёт такой же хороший вариант. Женщина, узнав об этом, немедленно бросает кавалера.
В чём ошиблась эта пара? Мужчина, верно просчитав ситуацию с экономической точки зрения, не учёл психологического фактора. Жест с квартирой женщина восприняла как несерьёзность намерений. Но она не подумала о том, что её ухажёр - экономист, стало быть, принимает решения в первую очередь с позиции «выгодно - невыгодно». Таким образом, эта игра была проиграна обоими участниками.
Что делать
Просчитывайте не только свои действия, но и реакцию других людей. Почаще спрашивайте себя: а как можно интерпретировать мой поступок? Совет специально для мужчин: объясняйте свои действия и помните, что любая недоговорённость - повод для вашей второй половины пофантазировать. Стратегическое мышление - это не только математика, но и психология!
2. Игра на 90 баллов
Загадки, квесты, и логику перестанут быть проблемой после изучения теории игр. Вы научитесь искать все существующие варианты ответов и выбирать среди них наиболее подходящий.
Пример
Два студента попросили профессора отсрочить экзамен. Они рассказали душещипательную историю о том, как поехали на выходные в другой город, но на обратной дороге у них спустило шину. Помощь пришлось искать всю ночь, поэтому они не выспались и плохо себя чувствуют. (На самом деле друзья отмечали окончание сессии, а этот экзамен был заключительным и не самым тяжёлым.)
Профессор согласился. На следующий день он рассадил студентов в разные аудитории и раздал по листку, где было лишь два вопроса. Первый стоил всего 10 баллов, а второй - 90 и звучал так: «Какое колесо спустило?»
Если опираться на логику, то ответ будет «Правое переднее колесо»: именно справа, ближе к обочине чаще всего валяется всякий мусор, на который в первую очередь наезжает передняя шина. Но не спешите.
В этой ситуации важно дать не столько правильный (логичный) ответ, сколько ответ, который будет написан на бумажке друга.
Поэтому очевидно, что оба студента будут строить догадки исходя из предположения, как думает другой.
Можно рассуждать так: есть ли у студентов что-то «общее» с одним из колёс? Возможно, год назад им вместе приходилось уже менять какое-то колесо. Или одна шина измазана краской, и оба студента знают об этом. Если такой момент будет найден, именно этот вариант и стоит выбрать. Даже если другой студент не знаком с теорией игр, он может вспомнить этот случай и указать нужное колесо.
Что делать
В рассуждениях опирайтесь не только на логику, но и на жизненные обстоятельства. Помните: не всё то, что логично для вас, так же логично и для другого. Чаще привлекайте друзей и родственников к играм на мышление. Это позволит понять, как думают близкие вам люди, и в дальнейшем избежать сложных ситуаций, как в примере выше.
3. Игра с собой
Знания о стратегических играх помогают глубже анализировать собственные решения.
Пример
Некая Ольга решает, пробовать ей курить или нет.
Дерево игры
На рисунке представлено так называемое дерево игры: его полезно рисовать каждый раз, когда вам нужно принять какое-либо решение. Ветви этого дерева - варианты развития событий. Цифры (0, 1 и -1) - выигрыш, то есть будет ли игрок победителем, если изберёт тот или иной вариант.
Итак, с чего начинать. Вначале надо определить, какое решение будет лучшим и худшим. Предположим, что самое предпочтительное развитие событий для Ольги - попробовать курить, но не продолжать этого делать. Присвоим этому варианту выигрыш 1 (первая цифра левой нижней ветки). В худшем случае девушка станет зависимой от курения: присваиваем этому варианту выигрыш -1 (первая цифра правой нижней ветки). Таким образом, ветка дерева с вариантом вообще не пробовать курить получает 0.
Предположим, что Ольга решила попробовать курить. Что дальше? Бросит она или нет? Это уже будет решать Будущая Ольга, на рисунке она вступает в игру по ветке «Попробовать». Если у неё уже сформировалась зависимость, то бросать курить она не захочет, поэтому варианту «Продолжать» ставим выигрыш 1 (вторая цифра правой нижней ветки).
Что мы получаем? Нынешняя Ольга будет в выигрыше в том случае, если попробует курить, но не попадёт в зависимость. А это, в свою очередь, зависит от Будущей Ольги, для которой выгоднее курить (она уже курит довольно давно, значит, у неё есть зависимость, стало быть, бросать она не захочет). Так стоит ли так рисковать? Может, сыграть вничью: получить выигрыш 0 и вообще не пробовать курить?
Что делать
Просчитывать стратегию можно не только в игре с кем-то, но и в игре с самим собой. Попробуйте нарисовать дерево игры, и вы увидите, приведёт ли ваше нынешнее решение к выигрышу.
4. Игра в аукцион
Есть разные типы аукционов. Например, в фильме «Двенадцать стульев» проходил так называемый английский аукцион. Его схема проста: побеждает тот, кто предлагает наибольшую сумму за выставленный лот. Обычно устанавливается минимальный шаг для поднятия цены, в остальном ограничений нет.
Пример
В эпизоде с аукционом из «Двенадцати стульев» Остап Бендер допустил стратегическую ошибку. Вслед за предложением в 145 рублей за лот он поднял цену сразу до двухсот.
С точки зрения теории игр Остапу следовало повышать ставку, но минимально до тех пор, пока не останется конкурентов. Таким образом, он смог бы сэкономить деньги и не попасть впросак: Остапу не хватило 30 рублей, чтобы оплатить комиссионный сбор.
Что делать
Есть игры, такие как аукцион, в которые нужно играть только головой. Заранее определитесь с тактикой и подумайте о максимальной сумме, которую вы готовы отдать за лот. Дайте себе слово не превышать лимит. Этот шаг поможет справиться с азартом, если он вдруг вас настигнет.
5. Игра на обезличенном рынке
Обезличенный рынок - это банки, страховые компании, подрядчики, консульства. В общем, те участники игры, у которых нет имён и фамилий. Они обезличены, но при этом ошибочно полагать, что правила теории игр к ним неприменимы.
Пример
Максим обращается в банк в надежде получить кредит. Его кредитная история не идеальна: два года назад он шесть месяцев отказывался гасить другой заём. Сотрудник, который принимает документы, говорит, что, скорее всего, Максим кредит не получит.
Тогда Максим просит разрешения донести документы. Он приносит выписку из больницы, подтверждающую, что его отец в те полгода был серьёзно болен. Максим пишет заявление, где указывает причины задержки выплаты предыдущего заёма (деньги нужны были на лечение отца). И через некоторое время получает новый кредит.
Что делать
Когда вы ведёте дела с обезличенными игроками, всегда помните, что за ними скрываются личности. Придумывайте, как втянуть соперников в игру, и устанавливайте свои правила.
Теория игр - новая наука, но её уже изучают в лучших университетах мира. В издательстве «МИФ» вышел учебник «Стратегические игры». Он пригодится, если вы хотите научиться анализировать каждое своё действие, принимать взвешенные решения, лучше понимать не только других, но и себя.
И кибернетики , особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам .
История
Оптимальные решения или стратегии в математическом моделировании предлагались ещё в XVIII в. Задачи производства и ценообразования в условиях олигополии , которые стали позже хрестоматийными примерами теории игр, рассматривались в XIX в. А. Курно и Ж. Бертраном . В начале XX в. Эмануэль Ласкер , Эрнст Цермело и Эмиль Борель выдвигают идею математической теории конфликта интересов.
Математическая теория игр берёт своё начало из неоклассической экономики . Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 года Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (англ. Theory of Games and Economic Behavior ).
Эта область математики нашла некоторое отражение в общественной культуре. В 1998 году американская писательница и журналистка Сильвия Назар издала книгу о судьбе Джона Нэша , нобелевского лауреата по экономике и учёного в области теории игр; а в по мотивам книги был снят фильм «Игры разума ». Некоторые американские телевизионные шоу, например, «Friend or Foe », «Alias» или «NUMB3RS», периодически ссылаются на теорию в своих эпизодах.
Математическая теория игр сейчас бурно развивается, рассматриваются динамические игры. Однако математический аппарат теории игр затратен . Его применяют для оправданных задач: политика, экономика монополий и распределения рыночной власти и т. п. Ряд известных учёных стали Нобелевскими лауреатами по экономике за вклад в развитие теории игр, которая описывает социально-экономические процессы. Дж. Нэш , благодаря своим исследованиям в теории игр, стал одним из ведущих специалистов в области ведения «холодной войны », что подтверждает масштабность задач, которыми занимается теория игр.
Представление игр
Игры представляют собой строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указания выигрышей, или платежей , игроков для каждой комбинации стратегий. Большинство кооперативных игр описываются характеристической функцией, в то время как для остальных видов чаще используют нормальную или экстенсивную форму. Характеризующие признаки игры как математической модели ситуации:
- наличие нескольких участников;
- неопределённость поведения участников, связанная с наличием у каждого из них нескольких вариантов действий;
- различие (несовпадение) интересов участников;
- взаимосвязанность поведения участников, поскольку результат, получаемый каждым из них, зависит от поведения всех участников;
- наличие правил поведения, известных всем участникам.
Экстенсивная форма
Основная статья: Экстенсивная форма игры
Игры в экстенсивной, или расширенной, форме представляются в виде ориентированного дерева , где каждая вершина соответствует ситуации выбора игроком своей стратегии. Каждому игроку сопоставлен целый уровень вершин. Платежи записываются внизу дерева, под каждой листовой вершиной .
На рисунке слева - игра для двух игроков. Игрок 1 ходит первым и выбирает стратегию F или U. Игрок 2 анализирует свою позицию и решает - выбрать стратегию A или R. Скорее всего первый игрок выберет U, а второй - A (для каждого из них это оптимальные стратегии ); тогда они получат соответственно 8 и 2 очка.
Экстенсивная форма очень наглядна, с её помощью особенно удобно представлять игры с более чем двумя игроками и игры с последовательными ходами. Если же участники делают одновременные ходы, то соответствующие вершины либо соединяются пунктиром, либо обводятся сплошной линией.
Нормальная форма
| Игрок 2 стратегия 1 |
Игрок 2 стратегия 2 |
|
| Игрок 1 стратегия 1 |
4 , 3 | –1 , –1 |
| Игрок 1 стратегия 2 |
0 , 0 | 3 , 4 |
| Нормальная форма для игры с 2 игроками, у каждого из которых по 2 стратегии. | ||
В нормальной, или стратегической, форме игра описывается платёжной матрицей . Каждая сторона (точнее, измерение) матрицы - это игрок, строки определяют стратегии первого игрока, а столбцы - второго. На пересечении двух стратегий можно увидеть выигрыши, которые получат игроки. В примере справа, если игрок 1 выбирает первую стратегию, а второй игрок - вторую стратегию, то на пересечении мы видим (−1, −1), это значит, что в результате хода оба игрока потеряли по одному очку.
Игроки выбирали стратегии с максимальным для себя результатом, но проиграли из-за незнания хода другого игрока. Обычно в нормальной форме представляются игры, в которых ходы делаются одновременно , или хотя бы полагается, что все игроки не знают о том, что делают другие участники. Такие игры с неполной информацией будут рассмотрены ниже.
Характеристическая функция
В кооперативных играх с трансферабельной полезностью, то есть возможностью передачи средств от одного игрока к другому, невозможно применять понятие индивидуальных платежей . Вместо этого используют так называемую характеристическую функцию, определяющую выигрыш каждой коалиции игроков. При этом предполагается, что выигрыш пустой коалиции равен нулю.
Основания такого подхода можно найти ещё в книге фон Неймана и Моргенштерна. Изучая нормальную форму для коалиционных игр, они рассудили, что если в игре с двумя сторонами образуется коалиция C , то против неё выступает коалиция N \ C . Образуется как бы игра для двух игроков. Но так как вариантов возможных коалиций много (а именно 2 N , где N - количество игроков), то выигрыш для C будет некоторой характеристической величиной , зависящей от состава коалиции. Формально игра в такой форме (также называемая TU-игрой ) представляется парой (N, v) , где N - множество всех игроков, а v: 2 N → R - это характеристическая функция.
Подобная форма представления может быть применена для всех игр, в том числе без трансферабельной полезности. В настоящее время существуют способы перевести любую игру из нормальной формы в характеристическую, но преобразование в обратную сторону возможно не во всех случаях.
Применение теории игр
Теория игр как один из подходов в прикладной математике применяется для изучения поведения человека и животных в различных ситуациях. Первоначально теория игр начала развиваться в рамках экономической науки, позволив понять и объяснить поведение экономических агентов в различных ситуациях. Позднее область применения теории игр была расширена на другие социальные науки; в настоящее время теория игр используется для объяснения поведения людей в политологии, социологии и психологии. Теоретико-игровой анализ был впервые использован для описания поведения животных Рональдом Фишером в 30-х годах XX века (хотя даже Чарльз Дарвин использовал идеи теории игр без формального обоснования). В работе Рональда Фишера не появляется термин «теория игр». Тем не менее, работа по существу выполнена в русле теоретико-игрового анализа. Разработки, сделанные в экономике, были применены Джоном Майнардом Смитом в книге «Эволюция и теория игр». Теория игр используется не только для предсказания и объяснения поведения; были предприняты попытки использовать теорию игр для разработки теорий этичного или эталонного поведения. Экономисты и философы применяли теорию игр для лучшего понимания хорошего (достойного) поведения.
Описание и моделирование
Первоначально теория игр использовалась для описания и моделирования поведения человеческих популяций. Некоторые исследователи считают, что с помощью определения равновесия в соответствующих играх они могут предсказать поведение человеческих популяций в ситуации реальной конфронтации. Такой подход к теории игр в последнее время подвергается критике по нескольким причинам. Во-первых, предположения, используемые при моделировании, зачастую нарушаются в реальной жизни. Исследователи могут предполагать, что игроки выбирают поведения, максимизирующие их суммарную выгоду (модель экономического человека), однако на практике человеческое поведение часто не соответствует этой предпосылке. Существует множество объяснений этого феномена - нерациональность, моделирование обсуждения, и даже различные мотивы игроков (включая альтруизм). Авторы теоретико-игровых моделей возражают на это, говоря, что их предположения аналогичны подобным предположениям в физике. Поэтому даже если их предположения не всегда выполняются, теория игр может использоваться как разумная идеальная модель, по аналогии с такими же моделями в физике. Однако, на теорию игр обрушился новый вал критики, когда в результате экспериментов было выявлено, что люди не следуют равновесным стратегиям на практике. Например, в играх «Сороконожка», «Диктатор» участники часто не используют профиль стратегий, составляющий равновесие по Нэшу. Продолжаются споры о значении подобных экспериментов. Согласно другой точке зрения, равновесие по Нэшу не является предсказанием ожидаемого поведения, оно лишь объясняет, почему популяции, уже находящиеся в равновесии по Нэшу, остаются в этом состоянии. Однако вопрос о том, как эти популяции приходят к равновесию Нэша, остаётся открытым. Некоторые исследователи в поисках ответа на этот вопрос переключились на изучение эволюционной теории игр. Модели эволюционной теории игр предполагают ограниченную рациональность или нерациональность игроков. Несмотря на название, эволюционная теория игр занимается не столько вопросами естественного отбора биологических видов. Этот раздел теории игр изучает модели биологической и культурной эволюции, а также модели процесса обучения.
Нормативный анализ (выявление наилучшего поведения)
С другой стороны, многие исследователи рассматривают теорию игр не как инструмент предсказания поведения, но как инструмент анализа ситуаций с целью выявления наилучшего поведения для рационального игрока. Поскольку равновесие Нэша включает стратегии, являющиеся наилучшим откликом на поведение другого игрока, использование концепции равновесия Нэша для выбора поведения выглядит вполне обоснованным. Однако, и такое использование теоретико-игровых моделей подверглось критике. Во-первых, в некоторых случаях игроку выгодно выбрать стратегию, не входящую в равновесие, если он ожидает, что другие игроки также не будут следовать равновесным стратегиям. Во-вторых, знаменитая игра «Дилемма заключенного » позволяет привести ещё один контрпример. В «Дилемме заключенного » следование личным интересам приводит к тому, что оба игрока оказываются в худшей ситуации в сравнении с той, в которой они пожертвовали бы личными интересами.
Типы игр
Кооперативные и некооперативные
Игра называется кооперативной, или коалиционной , если игроки могут объединяться в группы, взяв на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан играть за себя. Развлекательные игры редко являются кооперативными, однако такие механизмы нередки в повседневной жизни.
Часто предполагают, что кооперативные игры отличаются именно возможностью общения игроков друг с другом. В общем случае это неверно. Существуют игры, где коммуникация разрешена, но игроки преследуют личные цели, и наоборот.
Из двух типов игр, некооперативные описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом. Попытки объединить два подхода дали немалые результаты. Так называемая программа Нэша уже нашла решения некоторых кооперативных игр как ситуации равновесия некооперативных игр.
Гибридные игры включают в себя элементы кооперативных и некооперативных игр. Например, игроки могут образовывать группы, но игра будет вестись в некооперативном стиле. Это значит, что каждый игрок будет преследовать интересы своей группы, вместе с тем стараясь достичь личной выгоды.
Симметричные и несимметричные
| А | Б | |
| А | 1, 2 | 0, 0 |
| Б | 0, 0 | 1, 2 |
| Несимметричная игра | ||
Основная статья: Симметричная игра
Игра будет симметричной тогда, когда соответствующие стратегии у игроков будут равны, то есть иметь одинаковые платежи. Иначе говоря, если игроки могут поменяться местами и при этом их выигрыши за одни и те же ходы не изменятся. Многие изучаемые игры для двух игроков - симметричные. В частности, таковыми являются: «Дилемма заключённого », «Охота на оленя », «Ястребы и голуби ». В качестве несимметричных игр можно привести «Ультиматум» или «Диктатор».
В примере справа игра на первый взгляд может показаться симметричной из-за похожих стратегий, но это не так - ведь выигрыш второго игрока при профилях стратегий (А, А) и (Б, Б) будет больше, чем у первого.
С нулевой суммой и с ненулевой суммой
Игры с нулевой суммой - особая разновидность игр с постоянной суммой , то есть таких, где игроки не могут увеличить или уменьшить имеющиеся ресурсы, или фонд игры. В этом случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе. Посмотрите направо - числа означают платежи игрокам - и их сумма в каждой клетке равна нулю. Примерами таких игр может служить покер , где один выигрывает все ставки других; реверси , где захватываются фишки противника; либо банальное воровство .
Многие изучаемые математиками игры, в том числе уже упоминавшаяся «Дилемма заключённого», иного рода: в играх с ненулевой суммой выигрыш какого-то игрока не обязательно означает проигрыш другого, и наоборот. Исход такой игры может быть меньше или больше нуля. Такие игры могут быть преобразованы к нулевой сумме - это делается введением фиктивного игрока , который «присваивает себе» излишек или восполняет недостаток средств.
Ещё игрой с отличной от нуля суммой является торговля , где каждый участник извлекает выгоду. Широко известным примером, где она уменьшается, является
Забавный пример применения теории игр есть в фэнтезийной книжке Энтони Пирса «Бравый голем»
Много текста
– Смысл того, что я сейчас вам всем продемонстрирую, – начал Гранди, – заключается в наборе необходимого количества баллов. Баллы могут быть самыми различными – все зависит от комбинации решений, которые принимаются участниками игры. К примеру, предположим, что каждый участник свидетельствует против своего товарища по игре. В этом случае каждому участнику можно присудить по одному очку!
– Одно очко! – сказала Морская Ведьма, проявляя к игре неожиданный интерес. Очевидно, колдунья хотела удостовериться в том, что у голема нет никаких шансов, чтобы демон Ксант остался им доволен.
– А теперь давайте предположим, что каждый из участников игры не свидетельствует против своего товарища! – продолжал Гранди. – В этом случае каждому можно присудить по три балла. Я хочу особенно отметить, что покуда все участники действуют одинаково, то им присуждается одинаковое количество баллов. Ни у кого нет никаких преимуществ перед другим.
– Три очка! – сказала вторая ведьма.
– Но вот теперь мы вправе предложить, что один из игроков начал давать показания против второго, а второй все равно молчит! – сказал Гранди. – В таком случае тот, кто эти показания дает, получает сразу пять очков, а тот, который молчит, не получает ни одного очка!
– Ага! – в один голос воскликнули обе ведьмы, хищно облизывая губы. Было видно, что обе они явно собирались получить по пять очков.
– Я все время терял очки! – воскликнул демон. – Но ведь ты пока только обрисовал ситуацию, а способа ее разрешения еще не представил! Так в чем заключается твоя стратегия? Не надо тянуть время!
– Погоди, сейчас я все объясню! – воскликнул Гранди. – Каждый из нас четверых – нас тут двое големов и две ведьмы – будет сражаться против своих противников. Конечно же, ведьмы постараются никому ни в чем не уступить…
– Конечно! – воскликнули снова обе ведьмы в унисон. Они отлично понимали голема с полуслова!
– А второй голем будет следовать моей тактике, – продолжал Гранди невозмутимо. Он посмотрел на своего двойника. – Ты, конечно, в курсе?
– Да, конечно! Я ведь твоя копия! Я прекрасно все понимаю, что ты думаешь!
– Вот и отлично! В таком случае, давайте-ка сделаем первый ход, чтобы демон смог сам все увидеть. В каждом поединке будет несколько раундов, чтобы вся стратегия смогла проявиться до конца и произвела впечатление целостной системы. Пожалуй, мне следует начать.
– Теперь каждый из нас должен наносить отметки на своих листках бумаги! – обратился голем к ведьме. – Сначала следует нарисовать улыбающееся лицо. Это будет означать, что мы не будем давать показания на товарища по заключению. Можно также нарисовать насупленное лицо, которое означает, что мы думаем только о себе и нужные показания на своего товарища даем. Мы оба сознаем, что лучше было бы, если бы никто не оказался тем самым насупленным лицом, но ведь, с другой стороны, насупленное лицо получает определенные преимущества перед улыбающимся! Но суть заключается в том, что каждый из нас не знает, что выберет другой! Не будем знать до тех пор, покуда партнер по игре не откроет своего рисунка!
– Начинай ты, сволочь! – выругалась ведьма. Она, как всегда, не могла обойтись без бранных эпитетов!
– Готово! – воскликнул Гранди, нарисовав большое улыбающееся лицо на своем листочке бумаги таким образом, чтобы ведьма не смогла увидеть, что он изобразил там. Ведьма сделала свой ход, тоже изобразив лицо. Надо думать, она непременно изобразила недобрую физиономию!
– Ну, а теперь нам остается только показать друг другу наши рисунки, – объявил Гранди. Обернувшись назад, он открыл рисунок публике и показал его во все стороны, чтобы рисунок смогли увидеть все. Что-то недовольно ворча, то же самое сделала и Морская Ведьма.
Как Гранди и рассчитывал, с рисунка колдуньи смотрело злое, недовольное лицо.
– Теперь вы, уважаемые зрители, – сказал Гранди торжественно, – видите, что ведьма предпочла давать на меня показания. Я не собираюсь этого делать. Таким образом, Морская Ведьма набирает пять очков. А я, соответственно, не получаю ни одного балла. И тут…
По рядам зрителей снова прокатился легкий шумок. Все явно сочувствовали голему и страстно желали, чтобы Морская Ведьма проиграла.
Но ведь игра только-только началась! Если только его стратегия была верной…
– Теперь мы можем перейти ко второму раунду! – объявил Гранди торжественно. – Мы снова должны повторить ходы. Каждый рисует лицо, которое ему ближе!
Так и сделали. Гранди изображал теперь хмурое, недовольное лицо.
Как только игроки показали свои рисунки, публика увидела, что теперь оба они изобразили злые лица.
– По два очка каждому! – сказал Гранди.
– Семь два в мою пользу! – заорала ведьма радостно. – Ты никуда отсюда не выберешься, мерзавец!
– Начинаем снова! – воскликнул Гранди. Они сделали по очередному рисунку и показали их публике. Снова те же самые злые лица.
– Каждый из нас повторил предыдущий ход, повел себя эгоистично, а потому, как мне кажется, лучше никому не присуждать очков! – заявил голем.
– Но я все равно веду в игре! – сказала ведьма, радостно потирая руки.
– Ладно, не шуми! – сказал Гранди. – Игра ведь не закончилась. Посмотрим, что будет! Итак, уважаемая публика, мы начинаем четвертый по счету раунд!
Игроки снова сделали рисунки, показав публике то, что они изобразили на своих листках. Оба листка снова явили зрителям те же злые физиономии.
– Восемь – три! – закричала ведьма, заливаясь злобным смехом. – Своей дурацкой стратегией ты выкопал себе могилу, голем!
– Пятый раунд! – закричал Гранди. Повторилось то же самое, что и в прежние раунды, – снова злые лица, только счет изменился – он стал девять – четыре в пользу колдуньи.
– Теперь последний, шестой раунд! – возвестил Гранди. Его предварительные расчеты показывали, что именно этот раунд должен стать судьбоносным. Теперь теория должна была подтвердиться либо быть опровергнута практикой.
Несколько быстрых и нервных движений карандаша по бумаге – и оба рисунка предстали перед глазами публики. Снова два лица, теперь даже с оскаленными зубами!
– Десять – пять в мою пользу! Моя игра! Я победила! – загоготала Морская Ведьма.
– Ты действительно выиграла, – согласился Гранди мрачно. Аудитория зловеще молчала.
Демон шевельнул было губами, чтобы что-то сказать.
– Но наше состязание еще не закончено! – крикнул звонко Гранди. – Это ведь была только первая часть игры.
– Да вам целую вечность подавай! – заворчал демон Ксант недовольно.
– Это верно! – сказал Гранди спокойно. – Но ведь один тур ничего не решает, только методичность указывает на лучший результат.
Теперь голем подошел к другой ведьме.
– Я хотел бы сыграть этот тур с другим противником! – объявил он. – Каждый из нас будет изображать лица, как это было в предыдущий раз, потом будет демонстрировать нарисованное публике!
Так они и сделали. Результат был таким же, как и в прошлый раз – Гранди нарисовал улыбающуюся рожицу, а ведьма – так вообще череп. Она сразу набрала преимущество в целых пять баллов, оставив Гранди позади.
Оставшиеся пять раундов окончились с теми результатами, которых и можно было ожидать. Снова счет стал десять – пять в пользу Морской Ведьмы.
– Голем, мне очень нравится твоя стратегия! – хохотала колдунья.
– Итак, вы просмотрели два тура игры, уважаемые зрители! – воскликнул Гранди. – Я, таким образом, набрал десять очков, а мои соперницы – двадцать!
Публика, которая тоже вела подсчет очков, скорбно закивала головами. Их подсчет совпал с подсчетами голема. Только облако по имени Фракто казалось весьма довольным, хотя, конечно, ведьме оно тоже не симпатизировало.
Но Рапунцелия одобряюще улыбнулась голему – она продолжала верить в него. Она, возможно, осталась единственной, кто верил ему теперь. Гранди надеялся, что он оправдает это безграничное доверие.
Теперь Гранди подошел к своему третьему сопернику – своему двойнику. Он должен был стать его последним противником. Быстро чиркнув карандашами по бумаге, големы показали листочки публике. Все увидели две смеющихся рожицы.
– Заметьте, дорогие зрители, каждый из нас предпочел быть добрым сокамерником! – воскликнул Гранди. – А посему никто из нас не получил в этой игре необходимого преимущества перед соперником. Таким образом, мы оба получаем по три балла и приступаем к следующему раунду!
Второй раунд начался. Результат был тот же, что и в предыдущий раз. Затем оставшиеся раунды. И в каждый раунд оба противника набирали опять по три балла! Это было просто невероятно, но публика была готова подтвердить все происходящее.
Наконец и этот тур подошел к концу, и Гранди, быстро водя своим карандашиком по бумаге, стал подсчитывать результат. Наконец он объявил торжественно:
– Восемнадцать на восемнадцать! В общей сложности я набрал двадцать восемь очков, а мои соперники набрали тридцать восемь!
– Значит, ты проиграл, – возвестила Морская Ведьма радостно. – Победителем станет, таким образом, кто-то из нас!
– Возможно! – спокойно отозвался Гранди. Теперь наступал еще один важный момент. Если все пройдет так, как им и было задумано…
– Нужно довести дело до конца! – воскликнул второй голем. – Мне ведь тоже еще нужно сразиться с двумя Морскими Ведьмами! Игра еще не закончена!
– Да, конечно, давай! – сказал Гранди. – Но только руководствуйся стратегией!
– Да, конечно! – заверил его двойник.
Этот голем подошел к одной из ведьм, и тур начался. Завершился он с тем же результатом, с которым из подобного раунда вышел сам Гранди – счет был десять-пять в пользу колдуньи. Ведьма прямо-таки сияла от невыразимой радости, а публика угрюмо замолчала. Демон Ксант выглядел несколько уставшим, что было не слишком добрым предзнаменованием.
Теперь пришло время заключительного раунда – одна ведьма должна была сражаться против второй. Каждая имела в активе по двадцать очков, которые она смогла получить, сражаясь с големами.
– А теперь, если ты позволишь набрать мне хотя бы несколько лишних очков… – заговорщицки прошептала Морская Ведьма своему двойнику.
Гранди старался сохранить спокойствие хотя бы внешне, хотя в душе его бушевал ураган противоречивых чувств. Его удача сейчас зависела от того, насколько верно он предугадал возможное поведение обеих ведьм – ведь характер их был, в сущности, одним и тем же!
Сейчас наступал самый, пожалуй, критический момент. Но если он ошибся!
– С какой это стати я должна тебе уступать! – прокаркала вторая ведьма первой. – Я сама хочу набрать больше очков и выбраться отсюда!
– Ну, если ты так нахально ведешь себя, – завопила претендентка, – то я тебя сейчас отделаю так, что ты больше не будешь похожа на меня!
Ведьмы, одарив друг друга ненавидящими взглядами, начертили свои рисунки и показали их публике. Конечно же, ничего другого, кроме двух черепов, там оказаться просто не могло! Каждая набрала по одному очку.
Ведьмы, осыпая друг друга проклятьями, приступили ко второму раунду. Результат опять тот же самый – снова два коряво нарисованных черепа. Ведьмы, таким образом, набрали еще по одному очку. Публика старательно все фиксировала.
Так продолжалось и в дальнейшем. Когда тур закончился, усталые ведьмы обнаружили, что каждая из них набрала по шесть очков. Снова ничья!
– Теперь давайте подсчитаем получившиеся результаты и все сравним! – торжествующе сказал Гранди. – Каждая из ведьм набрала по двадцать шесть очков, а големы набрали по двадцать восемь баллов. Итак, что мы имеем? А имеем мы тот результат, что големы имеют большее количество очков!
По рядам зрителей прокатился вздох удивления. Взволнованные зрители стали писать на своих листочках столбики цифр, проверяя правильность подсчета. Многие за это время просто не считали количество набранных баллов, считая, что результат игры им уже известен. Обе ведьмы стали рычать от негодования, непонятно, кого именно обвиняя в происшедшем. Глаза демона Ксанта вновь загорелись настороженным огнем. Его доверие оправдалось!
– Я прошу вас, уважаемая публика, обратить внимание на тот факт, – поднял руку Гранди, требуя от зрителей успокоиться, – что ни один из големов не выиграл ни единого раунда. Но окончательная победа все-таки будет за одним из нас, из големов. Результаты будут более красноречивыми, если состязание продолжится и дальше! Я хочу сказать, дорогие мои зрители, что в вечном поединке моя стратегия будет неизменно оказываться выигрышной!
Демон Ксант с интересом прислушивался к тому, что говорил Гранди. Наконец он, испуская клубы пара, открыл рот:
– А в чем конкретно заключается твоя стратегия?
– Я называю ее «Быть твердым, но честным»! – пояснил Гранди. – Я начинаю игру честно, но затем начинаю проигрывать, потому что мне попадаются очень специфические партнеры. Поэтому в первом раунде, когда оказывается, что Морская Ведьма начинает давать против меня показания, я автоматически остаюсь проигравшим и во втором раунде – и так продолжается до конца. Результат может быть другим, ежели ведьма переменит свою тактику ведения игры. Но поскольку ей такое даже в голову прийти не может, мы продолжали играть по предыдущему шаблону. Когда я начал играть со своим двойником, то он хорошо отнесся ко мне, а я хорошо относился к нему в следующем раунде игры. Поэтому игра у нас пошла тоже по-другому и несколько однообразно, поскольку мы не хотели изменять тактику…
– Но ведь вы не выиграли ни единого тура! – удивленно возразил демон.
– Да, а эти ведьмы не проиграли ни одного тура! – подтвердил Гранди. – Но ведь победа не автоматически достается тому, за кем остались туры. Победа достается тому, кто набрал большее количество баллов, а это совсем другое дело! Мне удалось набрать больше очков, когда мы играли вместе с моим двойником, чем когда я играл с ведьмами. Их эгоистическое отношение принесло им сиюминутную победу, но в плане более долгосрочном оказалось, что именно из-за этого обе они проиграли игру целиком. Часто случается и такое!
Из популярного американского блога Cracked.
Теория игр занимается тем, что изучает способы сделать лучший ход и в результате получить как можно больший кусок выигрышного пирога, оттяпав часть его у других игроков. Она учит подвергать анализу множество факторов и делать логически взвешенные выводы. Я считаю, её нужно изучать после цифр и до алфавита. Просто потому что слишком многие люди принимают важные решения, основываясь на интуиции, тайных пророчествах, расположении звёзд и других подобных. Я тщательно изучил теорию игр, и теперь хочу рассказать вам о её основах. Возможно, это добавит здравого смысла в вашу жизнь.
1. Дилемма заключенного
Берто и Роберт были арестованы за ограбление банка, не сумев правильно использовать для побега угнанный автомобиль. Полиция не может доказать, что именно они ограбили банк, но поймала их с поличным в украденном автомобиле. Их развели по разным комнатам и каждому предложили сделку: сдать сообщника и отправить его за решетку на 10 лет, а самому выйти на свободу. Но если они оба сдадут друг друга, то каждый получит по 7 лет. Если же никто ничего не скажет, то оба сядут на 2 года только за угон автомобиля.
Получается, что, если Берто молчит, но Роберт сдает его, Берто садится в тюрьму на 10 лет, а Роберт выходит на свободу.
Каждый заключенный - игрок, и выгода каждого может быть представлена в виде «формулы» (что получат они оба, что получит другой). Например, если я ударю тебя, моя выигрышная схема будет выглядеть так (я получаю грубую победу, ты страдаешь от сильной боли). Поскольку у каждого заключенного есть два варианта, мы можем представить результаты в таблице.
Практическое применение: Выявление социопатов
Здесь мы видим основное применение теории игр: выявление социопатов, думающих лишь о себе. Настоящая теория игр - это мощный аналитический инструмент, а дилетантство часто служит красным флагом, с головой выдающим человека, лишенного понятия чести. Люди, делающие расчеты интуитивно, считают, что лучше поступить некрасиво, потому что это приведет к более короткому тюремному сроку независимо от того, как поступит другой игрок. Технически это правильно, но только если вы недальновидный человек, ставящий цифры выше человеческих жизней. Именно поэтому теория игра так популярна в сфере финансов.
Настоящая проблема дилеммы заключенного в том, что она игнорирует данные. Например, в ней не рассматривается возможность вашей встречи с друзьями, родственниками, или даже кредиторами человека, которого вы посадили в тюрьму на 10 лет.
Хуже всего то, что все участники дилеммы заключенного действуют так, как будто никогда не слышали ней.
А лучший ход - хранить молчание, и через два года вместе с хорошим другом пользоваться общими деньгами.
2. Доминирующая стратегия
Это ситуация, при которой ваши действия дают наибольший выигрыш, независимо от действий оппонента. Что бы ни происходило - вы всё сделали правильно. Вот почему многие люди при «дилемме заключенного» считают: предательство приводит к «наилучшему» результату независимо от того, что делает другой человек, а игнорирование действительности, свойственное этому методу, заставляет всё выглядеть супер-просто.
Большинство игр, в которые мы играем, не имеет строго доминирующих стратегий, потому что иначе они были бы просто ужасны. Представьте, что вы всегда делали бы одно и то же. В игре «камень-ножницы-бумага» нет никакой доминирующей стратегии. Но если бы вы играли с человеком, у которого на руках надеты прихватки, и он мог показать только камень или бумагу, у вас была бы доминирующая стратегия: бумага. Ваша бумага обернет его камень или приведет к ничьей, и вы не сможете проиграть, потому что соперник не может показать ножницы. Теперь, когда у вас есть доминирующая стратегия, нужно быть дураком, чтобы попробовать что-нибудь другое.
3. Битва полов
Игры интереснее, когда у них нет строго доминирующей стратегии. Например, битва полов. Анджали и Борислав идут на свидание, но не могут выбрать между балетом и боксом. Анджали любит бокс, потому что ей нравится, когда льется кровь на радость орущей толпе зрителей, считающих себя цивилизованными только потому, что они заплатили за чьи-то разбитые головы.
Борислав хочет смотреть балет, потому что он понимает, что балерины проходят через огромное количество травм и сложнейших тренировок, зная, что одна травма может положить конец всему. Артисты балета - величайшие спортсмены на Земле. Балерина может ударить вас ногой в голову, но никогда этого не сделает, потому что ее нога стоит гораздо дороже вашего лица.
Каждый из них хочет пойти на своё любимое мероприятие, но они не хотят наслаждаться им в одиночестве, таким образом, получаем схему их выигрыша: наибольшее значение - делать то, что им нравится, наименьшее значение - просто быть с другим человеком, и ноль - быть в одиночестве.
Некоторые люди предлагают упрямо балансировать на грани войны: если вы, несмотря ни на что, делаете то, что хотите, другой человек должен подстроиться под ваш выбор или потерять все. Как я уже говорил, упрощённая теория игр отлично выявляет глупцов.
Практическое применение: Избегайте острых углов
Конечно, и у этой стратегии есть свои значительные недостатки. Прежде всего, если вы относитесь к вашим свиданиям как к «битве полов», она не сработает. Расстаньтесь, чтобы каждый из вас мог найти человека, который ему понравится. А вторая проблема заключается в том, что в этой ситуации участники настолько не уверены в себе, что не могут этого сделать.
По-настоящему выигрышная стратегия для каждого - делать то, что они хотят, а после, или на следующий день, когда они будут свободны, пойти вместе в кафе. Или же чередовать бокс и балет, пока в мире развлечений не произойдет революция и не будет изобретен боксерский балет.
4. Равновесие Нэша
Равновесие Нэша - это набор ходов, где никто не хочет сделать что-то по-другому после свершившегося факта. И если мы сможем заставить это работать, теория игр заменит всю философскую, религиозную, и финансовую систему на планете, потому что «желание не прогореть» стало для человечества более мощной движущей силой, чем огонь.
Давайте быстро поделим 100$. Вы и я решаем, сколько из сотни мы требуем и одновременно озвучиваем суммы. Если наша общая сумма меньше ста, каждый получает то, что хотел. Если общее количество больше ста, тот, кто попросил наименьшее количество, получает желаемую сумму, а более жадный человек получает то, что осталось. Если мы просим одинаковую сумму, каждый получает 50 $. Сколько вы попросите? Как вы разделите деньги? Существует единственный выигрышный ход.
Требование 51 $ даст вам максимальную сумму независимо от того, что выберет ваш противник. Если он попросит больше, вы получите 51 $. Если он попросит 50 $ или 51 $, вы получите 50 $. И если он попросит меньше 50 $, вы получите 51 $. В любом случае нет никакого другого варианта, который принесет вам больше денег, чем этот. Равновесие Нэша - ситуация, в которой мы оба выбираем 51 $.
Практическое применение: сначала думайте
В этом вся суть теории игр. Не обязательно выиграть и тем более навредить другим игрокам, но обязательно сделать лучший для себя ход, независимо от того, что подготовят для вас окружающие. И даже лучше, если этот ход будет выгоден и для других игроков. Это своего рода математика, которая могла бы изменить общество.
Интересный вариант этой идеи - распитие спиртного, которое можно назвать Равновесием Нэша с временной зависимостью. Когда вы достаточно много пьете, то не заботитесь о поступках других людей независимо от того, что они делают, но на следующий день вы очень жалеете, что не поступили иначе.
5. Игра в орлянку
В орлянке участвуют Игрок 1 и Игрок 2. Каждый игрок одновременно выбирает орла или решку. Если они угадывают, Игрок 1 получает пенс Игрока 2. Если же нет - Игрок 2 получает монету Игрока 1.
Выигрышная матрица проста…
…оптимальная стратегия: играйте полностью наугад. Это сложнее, чем вы думаете, потому что выбор должен быть абсолютно случайным. Если у вас есть предпочтения орла или решки, противник может использовать его, чтобы забрать ваши деньги.
Конечно, настоящая проблема здесь заключается в том, что было бы намного лучше, если бы они просто бросали один пенс друг в друга. В результате их прибыль была бы такой же, а полученная травма могла бы помочь этим несчастным людям почувствовать что-то, кроме ужасной скуки. Ведь это худшая игра из существующих когда-либо. И это идеальная модель для серии пенальти.
Практическое применение: Пенальти
В футболе, хоккее и многих других играх, дополнительное время - это серия пенальти. И они были бы интереснее, если бы строились на том, сколько раз игроки в полной форме смогут сделать «колесо», потому что это, по крайней мере, было бы показателем их физических способностей и на это было бы забавно посмотреть. Вратари не могут чётко определить движение мяча или шайбы в самом начале их движения, потому что, к огромному сожалению, в наших спортивных состязаниях роботы все еще не участвуют. Вратарь должен выбрать левое или правое направление и надеяться, что его выбор совпадет с выбором противника, бьющего по воротам. В этом есть что-то общее с игрой в монетку.
Однако обратите внимание, что это не идеальный пример сходства с игрой в орла и решку, потому что даже при правильном выборе направления вратарь может не поймать мяч, а нападающий может не попасть по воротам.
Итак, каково же наше заключение согласно теории игр? Игры с мячом должны заканчиваться способом «мультимяча», где каждую минуту игрокам один на один выводится дополнительный мяч/шайба, до получения одной из сторон определенного результата, который был показателем настоящего мастерства игроков, а не эффектным случайным совпадением.
В конце концов, теория игр должна использоваться для того, чтобы сделать игру умнее. А значит лучше.
Что такое свободные радикалы?
1. Основные понятия теории игр и их классификация.................... 4
1.1. Предмет и задачи теории игр.................................................................................... 4
1.2. Терминология и классификация игр.......................................................................... 7
1.3. Примеры игр............................................................................................................. 12
Тесты................................................................................................................................ 15
2. Матричные игры................................................................................................... 16
2.1. Описание матричной игры....................................................................................... 16
Теория игр - это математическая теория конфликтных ситуаций.
Цель теории игр - выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта (определение оптимальных стратегий поведения игроков).
От реального конфликта игра отличается тем, что ведется по определенным правилам. Эти правила устанавливают последовательность ходов, объем информации каждой стороны о поведении другой и результат игры в зависимости от сложившейся ситуации. Правилами устанавливаются также конец игры, когда некоторая последовательность ходов уже сделана, и больше ходов делать не разрешается.
Теория игр, как и всякая математическая модель, имеет свои ограничения. Одним из них является предположение о полной (“идеальной”) разумности противников. В реальном конфликте зачастую оптимальная стратегия состоит в том, чтобы угадать, в чем противник “глуп” и воспользоваться этой глупостью в свою пользу .
Еще одним недостатком теории игр является то, что каждому из игроков должны быть известны все возможные действия (стратегии) противника, неизвестно лишь то, каким именно из них он воспользуется в данной партии. В реальном конфликте это обычно не так: перечень всех возможных стратегий противника как раз и неизвестен, а наилучшим решением в конфликтной ситуации нередко будет именно выход за пределы известных противнику стратегий, “ошарашивание” его чем-то совершенно новым, непредвиденным .
Теория игр не включает элементов риска, неизбежно сопровождающего разумные решения в реальных конфликтах. Она определяет наиболее осторожное, “перестраховочное” поведение участников конфликта.
Кроме того, в теории игр находятся оптимальные стратегии по одному показателю (критерию). В практических ситуациях часто приходится принимать во внимание не один, а несколько числовых критериев. Стратегия, оптимальная по одному показателю, может быть неоптимальной по другим.
Сознавая эти ограничения и потому, не придерживаясь слепо рекомендаций, даваемых теорий игр, можно все же выработать вполне приемлемую стратегию для многих реальных конфликтных ситуаций.
В настоящее время ведутся научные исследования, направленные на расширение областей применения теории игр.
1.2. Терминология и классификация игр
В теории игр предполагается, что игра состоит из ходов , выполняемых игроками одновременно или последовательно.
Ходы бывают личными и случайными . Ход называется личным , если игрок сознательно выбирает его из совокупности возможных вариантов действий и осуществляет его (например, любой ход в шахматной игре). Ход называется случайным , если его выбор производится не игроком, а каким-либо механизмом случайного выбора (например, по результатам бросания монеты).
Совокупность ходов, предпринятых игроками от начала до окончания игры, называется партией .
Одним из основных понятий теории игр является понятие стратегии. Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры. В простых (одноходовых) играх, когда в каждой партии игрок может сделать лишь по одному ходу, понятие стратегии и возможного варианта действий совпадают. В этом случае совокупность стратегий игрока охватывает все возможные его действия, а любое возможное для игрока i действие является его стратегией. В сложных (многоходовых играх) понятие «варианта возможных действий» и «стратегии» может отличаться друг от друга.
Стратегия игрока называется оптимальной, если она обеспечивает данному игроку при многократном повторении игры максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный средний проигрыш, независимо от того, какие стратегии применяет противник. Могут быть использованы и другие критерии оптимальности .
Возможно, что стратегия, обеспечивающая максимальный выигрыш, не обладает другим важным представлением оптимальности, как устойчивостью (равновесностью) решения. Решение игры является устойчивым (равновесным), если соответствующие этому решению стратегии образуют ситуацию, которую ни один из игроков не заинтересован изменить.
Повторим, что задача теории игр - нахождение оптимальных стратегий.
Классификация игр представлена на рис. 1.1.
1. В зависимости от видов ходов игры подразделяются на стратегические и азартные. Азартные игры состоят только из случайных ходов - ими теория игр не занимается. Если наряду со случайными ходами есть личные ходы, или все ходы личные, то такие игры называются стратегическими .
2. В зависимости от числа участников игры подразделяются на парные и множественные. В парной игре число участников равно двум, в множественной - более двух.
3. Участники множественной игры могут образовывать коалиции, как постоянные, так и временные. По характеру взаимоотношений игроков игры делятся на бескоалиционные, коалиционные и кооперативные.
Бескоалиционными называются игры, в которых игроки не имеют право вступать в соглашения, образовывать коалиции, и целью каждого игрока является получение по возможности наибольшего индивидуального выигрыша.
Игры, в которых действия игроков направлены на максимизацию выигрышей коллективов (коалиций) без последующего их разделения между игроками, называются коалиционными .
https://pandia.ru/text/78/553/images/image002_69.gif" width="509" height="75">
https://pandia.ru/text/78/553/images/image006_35.gif" width="509" height="108">
Рис. 1.1. Классификация игр
Исходом кооперативной игры является дележ выигрыша коалиции, который возникает не как следствие тех или иных действий игроков, а как результат их наперед определенных соглашений.
В соответствии с этим в кооперативных играх сравниваются по предпочтительности не ситуации, как это имеет место в бескоалиционных играх, а дележи; и сравнение это не ограничивается рассмотрением индивидуальных выигрышей, а носит более сложный характер.
4. По количеству стратегий каждого игрока игры подразделяются на конечные (число стратегий каждого игрока конечно) и бесконечные (множество стратегий каждого игрока бесконечно).
5. По количеству информации , имеющейся у игроков относительно прошлых ходов, игры подразделяются на игры с полной информацией (имеется вся информация о предыдущих ходах) и неполной информацией . Примерами игр с полной информацией могут быть шахматы, шашки и т. п.
6. По виду описания игры подразделяются на позиционные игры (или игры в развернутой форме) и игры в нормальной форме. Позиционные игры задаются в виде дерева игры. Но любая позиционная игра может быть сведена к нормальной форме , в которой каждый из игроков делает только по одному независимому ходу. В позиционных играх ходы делаются в дискретные моменты времени. Существуют дифференциальные игры, в которых ходы делаются непрерывно. Эти игры изучают задачи преследования управляемого объекта другим управляемым объектом с учетом динамики их поведения, которая описывается дифференциальными уравнениями.
Существуют также рефлексивные игры, которые рассматривают ситуации с учетом мысленного воспроизведения возможного образа действий и поведения противника.
7. Если любая возможная партия некоторой игры имеет нулевую сумму выигрышей f i, https://pandia.ru/text/78/553/images/image009_21.gif" width="60 height=45" height="45">), то говорят об игре с нулевой суммой . В противном случае игры называются играми с ненулевой суммой .
Очевидно, что парная игра с нулевой суммой является антагонистической , так как выигрыш одного игрока равен проигрышу второго, а следовательно цели этих игроков прямо противоположны.
Конечная парная игра с нулевой суммой называется матричной игрой. Такая игра описывается платежной матрицей, в которой задаются выигрыши первого игрока. Номер строки матрицы соответвует номеру применяемой стратегии первого игрока, столбец - номеру применяемой стратегии второго игрока; на пересечении строки и столбца находится соответствующий выигрыш первого игрока (проигрыш второго игрока).
Конечная парная игра с ненулевой суммой называется биматричной игрой. Такая игра описывается двумя платежными матрицами, каждая для соответствующего игрока.
1.3. Примеры игр
Игра 1. Зачет
Пусть игрок 1 - студент, готовящийся к зачету, а игрок 2 - преподаватель, принимающий зачет. Будем считать, что у студента две стратегии: А1- хорошо подготовиться к зачету; А2 - не подготовиться. У преподавателя имеется тоже две стратегии: В1 - поставить зачет; В2 - не поставить зачет. В основу оценки значений выигрышей игроков можно положить, например, следующие соображения, отраженные в матрицах выигрышей
|
(оценили по заслугам) |
(все нормально) |
(проявил несправедли вость) |
||||
|
(удалось словчить) |
(получил по заслугам) |
(дал себя обмануть) |
(студент придет еще раз) |
|||
Выигрыши студента | Выигрыши преподавателя |
|||||
Данная игра в соответствии с приведенной выше классификацией является стратегической, парной, бескоалиционной, конечной, описана в нормальной форме, с ненулевой суммой. Более кратко данную игру можно назвать биматричной.
Задача состоит в определении оптимальных стратегий для студента и для преподавателя.
Игра 2. Морра
Игрой “морра” называется игра любого числа лиц, в которой все игроки одновременно показывают (“выбрасывают”) некоторое число пальцев. Каждой ситуации приписываются выигрыши, которые игроки в условиях этой ситуации получают из “банка”. Например, каждый игрок выигрывает показанное им число пальцев, если все остальные игроки показали другое число; он ничего не выигрывает во все остальных случаях. В соответствии с приведенной классификацией данная игра является стратегической; в общем случае, множественной (в этом случае игра может быть бескоалиционной, коалиционной, и кооперативной) конечной.
В частном случае, когда игра парная - это будет матричная игра (матричная игра всегда является антагонистической).
Пусть два игрока «выбрасывают» одновременно один, два или три пальца. При четной сумме выигрывает первый игрок, при нечетной – второй. Выигрыш равен сумме «выброшенных пальцев». Таким образом, в данном случае каждый из игроков имеет по три стратегии, а матрица выигрышей первого игрока (проигрышей второго) имеет вид:
где Аi – стратегия первого игрока, заключающаяся в «выбрасывании» i пальцев;
Вj – стратегия второго игрока, заключающаяся в «выбрасывании» j пальцев.
Что должен делать каждый из игроков, чтобы обеспечить себе максимальный выигрыш?
Игра 3. Борьба за рынки
Некая фирма А, имея в своем распоряжении 5 условных денежных единиц , пытается удержать два равноценных рынка сбыта. Ее конкурент (фирма В), имея сумму равную 4 условным денежным единицам, пытается вытеснить фирму А с одного из рынков. Каждый из конкурентов для защиты и завоевания соответствующего рынка может выделить целое число единиц своих средств. Считается, что если для защиты хотя бы одного из рынков фирма А выделит меньше средств, чем фирма В, то она проигрывает, а во всех остальных случаях – выигрывает. Пусть выигрыш фирмы А равен 1, а проигрыш равен (-1), тогда игра сводится к матричной игре, для которой матрица выигрышей фирмы А (проигрышей фирмы В) имеет вид:
Здесь Аi – стратегия фирмы А, заключающаяся в выделении i условных денежных единиц на защиту первого рынка; Вj – стратегия фирмы В, заключающаяся в выделении j условных денежных единиц на завоевание первого рынка.
Если бы на защиту или завоевание рынков фирмы могли выделить любое количество средств из имеющихся, то игра стала бы бесконечной.
ТЕСТЫ
(В – Верно, Н – Неверно)
1. Всякая конфликтная ситуация является антагонистической.
2. Всякая антагонистическая ситуация является конфликтной.
4. Недостатком теории игр является предположение о полной разумности противников.
5. В теории игр предполагается, что не все возможные стратегии противника известны.
6. Теория игр включает элементы риска, неизбежно сопровождающие разумные решения в реальных конфликтах.
7. В теории игр нахождение оптимальной стратегии осуществляется по многим критериям.
8. Стратегические игры состоят только из личных ходов.
9. В парной игре число стратегий каждого участника равно двум.
10. Игры, в которых действия игроков направлены на максимизацию выигрышей коалиций без последующего их разделения между игроками, называются коалиционными.
11. Исходом кооперативной игры является дележ выигрыша коалиции, который возникает не как следствие тех или иных действий игроков, а как результат их наперед определенных соглашений.
12. По виду описания игры делятся на игры с полной информацией или игры с неполной информацией.
13. Конечная множественная игра с нулевой суммой называется матричной.
14. Конечная парная игра с нулевой суммой называется биматричной игрой.
(Ответы: 1-Н; 2-В; 3-В; 4-В; 5-Н; 6-Н; 7-Н; 8-Н; 9-Н; 10-В; 11-В; 12-Н; 13-Н; 14-Н.)
2. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ
2.1. Описание матричной игры
Наиболее разработанной в теории игр является конечная парная игра с нулевой суммой (антагонистическая игра двух лиц или двух коалиций), называемая матричной игрой.
Рассмотрим такую игру G , в которой участвуют два игрока А и В , имеющие антагонистические интересы: выигрыш одного игрока равен проигрышу второго. Так как выигрыш игрока А равен выигрышу игрока В с обратным знаком, можем интересоваться только выигрышем а игрока А . Естественно, игрок А хочет максимизировать а , а игрок В - минимизировать а . Для простаты отождествим себя мысленно с одним из игроков (пусть это будет игрок А ), тогда будем называть игрока В - “противник” (разумеется, каких-то реальных преимуществ для А из этого не вытекает).